Таблица Производных

Таблица основных производных

Простые функции	Сложные функции
1. \( (\text{const})' = 0 \)
2. \( \displaystyle (x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1} \), где \( \alpha \in \mathbb{R} \) \( \boxed{x' = 1} \) \( \displaystyle (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)	2. \( \displaystyle (u^\alpha)' = \alpha u^{\alpha-1} \cdot u' \), где \( \alpha \in \mathbb{R} \) \( \displaystyle (\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u' \) \( \boxed{\text{степенная ф-я}} \)
3. \( \displaystyle (a^x)' = a^x \ln a \), где \( \displaystyle \begin{cases} a > 0 \\ a \neq 1 \end{cases} \) \( (e^x)' = e^x \)	3. \( \displaystyle (a^u)' = a^u \ln a \cdot u' \), где \( \displaystyle \begin{cases} a > 0 \\ a \neq 1 \end{cases} \) \( (e^u)' = e^u \cdot u' \) \( \boxed{\text{показательная ф-я}} \)
4. \( \displaystyle (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \), где \( \displaystyle \begin{cases} a > 0 \\ a \neq 1 \end{cases} \) \( \displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x} \)	4. \( \displaystyle (\log_a u)' = \frac{1}{u \ln a} \cdot u' \), где \( \displaystyle \begin{cases} a > 0 \\ a \neq 1 \end{cases} \) \( \displaystyle (\ln u)' = \frac{1}{u} \cdot u' \)
5. \( (\sin x)' = \cos x \)	5. \( (\sin u)' = \cos u \cdot u' \)
6. \( (\cos x)' = -\sin x \)	6. \( (\cos u)' = -\sin u \cdot u' \)
7. \( \displaystyle (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x} \)	7. \( \displaystyle (\operatorname{tg} u)' = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot u' \)
8. \( \displaystyle (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} \)	8. \( \displaystyle (\operatorname{ctg} u)' = -\frac{1}{\sin^2 u} \cdot u' \)
9. \( \displaystyle (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)	9. \( \displaystyle (\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot u' \)
10. \( \displaystyle (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)	10. \( \displaystyle (\arccos u)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot u' \)
11. \( \displaystyle (\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1 + x^2} \)	11. \( \displaystyle (\operatorname{arctg} u)' = \frac{1}{1 + u^2} \cdot u' \)
12. \( \displaystyle (\operatorname{arcctg} x)' = -\frac{1}{1 + x^2} \)	12. \( \displaystyle (\operatorname{arcctg} u)' = -\frac{1}{1 + u^2} \cdot u' \)

Здесь \( x \) — независимая переменная, а \( u = u(x) \) — функция переменной \( x \).

Примеры степенных функций: \( \displaystyle x^2, \;\; x^{-3}, \;\; \sqrt[5]{x^9} = x^{9/5}, \;\; \frac{1}{\sqrt[7]{x^5}} = x^{-5/7}. \)

Примеры показательных функций: \( \displaystyle 2^x, \;\; 3^x, \;\; e^x, \;\; 3^{-2x}, \;\; e^{3x+5}. \)

Основные свойства производных

\( [C \cdot u(x)]' = C \cdot [u(x)]' \), где \( C \equiv \text{const}. \)

\( \displaystyle \left( \frac{13u(x)}{v(x)} \right)' = \left( 13 \cdot \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = 13 \cdot \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' \)

\( \displaystyle \left( \frac{u(x)}{17v(x)} \right)' = \left( \frac{1}{17} \cdot \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{1}{17} \cdot \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' \)

\( [u(x) + v(x)]' = u' + v' \)

производная суммы

\( [u(x) - v(x)]' = u' - v' \)

производная разности

\( [u(x) \cdot v(x)]' = u'v + uv' \)

производная произведения

\( \displaystyle \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)

производная частного

Некоторые полезные свойства
элементарных функций

\( \displaystyle A \cdot a^{-\alpha} = \frac{A}{a^\alpha} \)

\( a^\alpha \cdot a^\beta = a^{\alpha+\beta} \)

\( \displaystyle \frac{a^\alpha}{a^\beta} = a^{\alpha-\beta} \)

\( (a^\alpha)^\beta = a^{\alpha\beta} = (a^\beta)^\alpha \)

\( a^\alpha \cdot b^\alpha = (ab)^\alpha \)

\( \sqrt[n]{a} = a^{1/n} \quad \text{и} \quad \sqrt{a} = \sqrt[2]{a} = a^{1/2} \)

\( \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} \)

\( \displaystyle \frac{A}{\sqrt[n]{a^m}} = A \cdot a^{-m/n} \)

\( \log_a a^c = c, \quad a > 0, \; a \neq 1 \quad \Rightarrow \)

\( \log_a 1 = 0, \qquad \log_a a = 1, \qquad \ln e = 1 \)

10.

\( \log_a b + \log_a c = \log_a bc, \qquad a > 0, \; a \neq 1, \; b > 0, \; c > 0 \)

11.

\( \displaystyle \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}, \qquad a > 0, \; a \neq 1, \; b > 0, \; c > 0 \)

12.

\( \log_a b^n = n \log_a b, \qquad a > 0, \; a \neq 1, \; b > 0 \)