Приведём таблицу основных интегралов с учётом свойства инвариантности формул интегрирования, которое заключается в следующем: если
$\displaystyle \int f(x) \, dx = F(x) + C$, то $\displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C$,
где $u = u(x)$ — непрерывно-дифференцируемая функция от $x$.
I.
$\displaystyle \int 0 \, du = C$
II.
$\displaystyle \int 1 \, du = \int du = u + C$
III.
$\displaystyle \int u^\alpha \, du = \frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C, \quad (\alpha \neq -1)$
IV.
$\displaystyle \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C$
V.
$\displaystyle \int a^u \, du = \frac{a^u}{\ln a} + C, \quad (a > 0, \, a \neq 1)$
VI.
$\displaystyle \int e^u \, du = e^u + C$
VII.
$\displaystyle \int \sin u \, du = -\cos u + C$
VIII.
$\displaystyle \int \cos u \, du = \sin u + C$
IX.
$\displaystyle \int \frac{du}{\cos^2 u} = \operatorname{tg} u + C$
X.
$\displaystyle \int \frac{du}{\sin^2 u} = -\operatorname{ctg} u + C$
XI.
$\displaystyle \int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \operatorname{arctg} \frac{u}{a} + C, \quad \text{где } a \neq 0$
XII.
$\displaystyle \int \frac{du}{u^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{u-a}{u+a} \right| + C, \quad \text{где } a \neq 0$
XIII.
$\displaystyle \int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \operatorname{arcsin} \frac{u}{a} + C, \quad \text{где } a > 0$
XIV.
$\displaystyle \int \frac{du}{\sqrt{u^2 + A}} = \ln \left| u + \sqrt{u^2 + A} \right| + C, \quad \text{где } A \neq 0$
XV.
$\displaystyle \int \frac{du}{\sin u} = \ln \left| \operatorname{tg} \frac{u}{2} \right| + C$
XVI.
$\displaystyle \int \frac{du}{\cos u} = \ln \left| \operatorname{tg} \left( \frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right| + C$
XVII.
$\displaystyle \int \sqrt{a^2 - u^2} \, du = \frac{1}{2} \left[ u \sqrt{a^2 - u^2} + a^2 \operatorname{arcsin} \frac{u}{a} \right] + C, \quad \text{где } a > 0$
XVIII.
$\displaystyle \int \sqrt{u^2 + A} \, du = \frac{1}{2} \left[ u \sqrt{u^2 + A} + A \ln \left| u + \sqrt{u^2 + A} \right| \right] + C, \quad \text{где } A \neq 0$