Условие задачи
Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке $М_0$ к следующей поверхности:
$$ \underbrace{2^{x/z} + 2^{y/z}}_{F} = 8 \qquad M_0(2; 2; 1) $$Решение
В качестве вспомогательного вычисления найдем производную показателя степени по переменной $z$, которая потребуется при применении правила дифференцирования сложной функции:
1. Частные производные первого порядка
Найдем градиент функции $F(x,y,z)$. Запишем систему уравнений для частных производных по всем трем переменным в общем виде:
2. Вычисление градиента в заданной точке
Подставим координаты точки $M_0(2; 2; 1)$ в полученные производные.
Сформируем вектор градиента и упростим его, последовательно вынося общие множители за скобки:
Отбрасывая скалярный множитель $4\ln 2$, получаем направляющий вектор нормали $\vec{n}(M_0)$ к поверхности в данной точке:
3. Составление уравнений
Используя координаты точки $M_0(2; 2; 1)$ и координаты вектора нормали, запишем искомые геометрические уравнения.
Уравнение касательной плоскости:
Уравнение нормали к поверхности:
Визуализация
Геометрический смысл задачи: построение плоскости, касающейся поверхности в точке, и вектора, перпендикулярного этой плоскости.