Условие задачи
Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке $М_0$ к следующей поверхности:
$$z = x^2 + y^2,\ M_0(1; 2; 5)$$Теоретическая справка
$$\begin{cases} A = F'_x(M_0) \\ B = F'_y(M_0) \\ C = F'_z(M_0) \end{cases}$$
$$(z - z_0) = z'_x(M_0) \cdot (x - x_0) + z'_y(M_0) \cdot (y - y_0)$$
Решение
$$\underbrace{x^2 + y^2 - z}_{F(x, y, z)} = 0$$
$$\begin{cases} F'_x = 2x \\ F'_y = 2y \\ F'_z = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} F'_x(M_0) = 2 \\ F'_y(M_0) = 4 \\ F'_z(M_0) = -1 \end{cases} \Rightarrow \vec{n}(M_0) = \{2; 4; -1\}$$
касательная плоскость:
$$2(x - 1) + 4(y - 2) - 1(z - 5) = 0$$
нормаль:
$$\frac{(x - 1)}{2} = \frac{(y - 2)}{4} = \frac{(z - 5)}{-1}$$
Визуализация
Ответ
касательная плоскость:
$$2(x - 1) + 4(y - 2) - 1(z - 5) = 0$$
нормаль:
$$\frac{(x - 1)}{2} = \frac{(y - 2)}{4} = \frac{(z - 5)}{-1}$$