Электростатика

1. Принцип суперпозиции

Сила взаимодействия двух точечных зарядов или заряженных тел сферической формы при симметричном распределении зарядов в вакууме подчиняется закону Кулона:

$$|\vec{F}| = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{|Qq|}{r^2}$$

Напряженность электрического поля определяется как отношение силы, действующей на пробный заряд к этому заряду:

$$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q}$$

Напряженность поля, созданного в некоторой точке произвольным распределенным зарядом $Q$, может быть рассчитана с помощью принципа суперпозиции:

$$\vec{E} = \int\limits_{(Q)} d\vec{E}$$

где $dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dQ}{r^2}$ — поле, созданное точечным зарядом $dQ$.

Результирующая напряженность поля, созданного в данной точке точечными зарядами или заряженными телами, также подчиняется принципу суперпозиции:

$$\vec{E} = \sum_{i=1}^{N} \vec{E}_i$$

Потенциал электростатического поля в точке определяется как отношение потенциальной энергии пробного заряда, помещенного в данную точку поля, к величине этого заряда:

$$\varphi = \frac{W_{\text{потенц}}}{q}$$

либо как отношение работы сил поля по перемещению пробного заряда из данной точки в точку нулевого значения потенциала к величине этого заряда. Разность потенциалов при этом определяется выражением:

$$\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{A_{12}}{q}$$

Потенциал поля, созданного точечным зарядом, может быть определен из соотношения:

$$\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r}$$

Потенциал поля, созданного в некоторой точке произвольным распределенным зарядом $Q$, может быть рассчитан с помощью принципа суперпозиции:

$$\varphi = \int\limits_{(Q)} d\varphi$$

где $d\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dQ}{r}$, здесь $\varphi(\infty) = 0$.

Потенциал поля, созданного некоторой системой точечных зарядов или заряженных тел, также находится с помощью принципа суперпозиции:

$$\varphi = \sum_{i=1}^{N} \varphi_i$$

Напряженность и потенциал электростатического поля взаимосвязаны.

Интегральная форма связи имеет вид:

$$\varphi_1 - \varphi_2 = \int\limits_1^2 (\vec{E}, d\vec{\ell}) = \int\limits_1^2 E_{\ell} \, d\ell$$

Дифференциальная форма связи позволяет найти проекцию напряженности на любую ось:

$$E_{\ell} = -\frac{\partial \varphi}{\partial \ell}$$